Страница: << 1139 1140 1141 1142 1143 1144 1145 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65381

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть H и O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOH, пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65382

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ] [ Сфера, описанная около пирамиды ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A₁, B₁, C₁, D₁ различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65383

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник на правильный шестиугольник со стороной 1 и несколько равных прямоугольных треугольников с катетами 1 и ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65389

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

N точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, попарно соединили отрезками (каждую с каждой). Часть отрезков покрасили красным, остальные – синим. Все красные отрезки образовали замкнутую несамопересекающуюся ломаную, и все синие отрезки – тоже. Найдите все N, при которых это могло получиться.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65390

Темы:   [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1139 1140 1141 1142 1143 1144 1145 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями