Страница: << 1138 1139 1140 1141 1142 1143 1144 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65362

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Удвоение медианы ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В треугольнике ABC  AB = BC,  ∠B = 20°.  Точка M на основании AC такова, что  AM : MC = 1 : 2,  точка H – проекция C на BM. Найдите угол AHB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65366

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На стороне AB четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что четырёхугольники AMCD и BMDC описаны около окружностей с центрами O₁ и O₂ соответственно. Прямая O₁O₂ отсекает от угла CMD равнобедренный треугольник с вершиной M. Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65370

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Теорема косинусов ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65373

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Точки A', B', C', D' – центры описанных окружностей треугольников ABD, BCA, CDB, DAC соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC', DD' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65378

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1138 1139 1140 1141 1142 1143 1144 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями