соревнования:
-
Московская математическая олимпиада
(2003 задачи)
Турнир городов
(1854 задачи)
Турнир им.Ломоносова
(372 задачи)
Математический праздник
(404 задачи)
Турнир журнала "Квант"
(8 задач)
Белорусские республиканские математические олимпиады
(132 задачи)
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
(915 задач)
Московская устная олимпиада по геометрии
(185 задач)
Московская математическая регата
(557 задач)
Московская устная олимпиада для 6-7 классов
(188 задач)
Окружная олимпиада (Москва)
(416 задач)
Всероссийская олимпиада по математике
(1125 задач)
Международная Математическая Олимпиада
(16 задач)
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
(48 задач)
Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
(150 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1160 1161 1162 1163 1164 1165 1166 >> [Всего задач: 8157]
Карлсон ест треугольный торт. Он режет торт по биссектрисе одного из углов, съедает одну из частей, а с другой повторяет ту же операцию. Если Карлсон съест больше половины торта, он станет не в меру упитанным мужчиной в самом расцвете сил.
Докажите, что рано или поздно это произойдёт.
Имеются одна треугольная и одна четырёхугольная пирамиды, все рёбра
которых равны 1. Покажите, как разрезать их на несколько частей и
склеить из этих частей куб (без пустот и щелей, все части должны
использоваться).
Существуют ли такое натуральное $n$ и такой многочлен $P(x)$ степени $n$, имеющий $n$ различных действительных корней, что при всех действительных $x$ выполнено равенство
а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$;
б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?
Страница: << 1160 1161 1162 1163 1164 1165 1166 >> [Всего задач: 8157]
Задача 66474 |
|
|
Докажите, что для любых натуральных a1, a2, ..., ak
таких, что , у уравнения
не больше чем a1a2...ak решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число,
не превосходящее x.)
|
|
|
Решение |
Задача 66475 |
|
|
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
|
|
|
Решение |
Задача 66482 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66485 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66486 |
|
|
а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$;
б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1160 1161 1162 1163 1164 1165 1166 >> [Всего задач: 8157]
