Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1302 1303 1304 1305 1306 1307 1308 >> [Всего задач: 8157]

Задача 109794

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Емельянов Л.А.

На сторонах AP и PD остроугольного треугольника APD выбраны соответственно точки B и C. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки H₁ и H₂ являются ортоцентрами треугольников APD и BPC соответственно. Докажите, что если прямая H₁H₂ проходит через точку X пересечения описанных окружностей треугольников ABQ и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения описанных окружностей треугольников BQC и AQD.
(X ≠ Q, Y ≠ Q.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 109811

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Даны натуральное число n > 3 и положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 109815

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, T – центр описанной окружности треугольника AOC, M – середина AC. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно так, что ∠BDM = ∠BEM = ∠B. Докажите, что BT ⊥ DE.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109816

Темы:	[	Уравнения с модулями	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Последовательности функций (прочее)	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Рубанов И.С.

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение

|x-a₁|+..+|x-a50|=|x-b₁|+..+|x-b50|,
где a₁ , a₂ , a50 , b₁ , b₂ , b50 – различные числа?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109823

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Алгоритм Евклида	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Сендеров В.А.

Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде , где a, b, c, d – натуральные числа.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1302 1303 1304 1305 1306 1307 1308 >> [Всего задач: 8157]