Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1303 1304 1305 1306 1307 1308 1309 >> [Всего задач: 8157]

Задача 109824

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Куликов Е.Ю.

В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила ⁿ⁺¹/₄.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109827

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Автор: Куликов Е.Ю.

В некоторые 16 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109841

Темы:	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B₁C₁ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109842

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 1,2

Автор: Голованов А.С.

Последовательности положительных чисел (x_n) и (y_n) удовлетворяют условиям при всех натуральных n. Докажите, что если все числа x₁, x₂, y₁, y₂ больше 1, то x_n > y_n при каком-нибудь натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109844

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Гарбер А.

Известно, что многочлен (x + 1)ⁿ – 1 делится на некоторый многочлен P(x) = x^k + c_k–1x^k–1 + c_k–2x^k–2 + ... + c₁x + c₀ чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1303 1304 1305 1306 1307 1308 1309 >> [Всего задач: 8157]