Страница: << 1317 1318 1319 1320 1321 1322 1323 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110149

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Процессы и операции ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть многочлен  P(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₀  имеет хотя бы один действительный корень и  a₀ ≠ 0.  Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a₀ так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110156

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Набор пятизначных чисел {N₁ , N_k} таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним их чисел N₁ , N_k . Найдите наименьшее возможное значение k .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110160

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Три натуральных числа таковы, что произведение каждых двух из них делится на сумму этих двух чисел.
Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110167

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110172

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1317 1318 1319 1320 1321 1322 1323 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями