Страница: << 1318 1319 1320 1321 1322 1323 1324 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110199

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A₁B₁ пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110202

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места k получают баллы a_k (числа a_k натуральны, и  a₁ > a₂ > ... > a_n).  При каком наименьшем n устроитель турнира может выбрать числа a₁, ..., a_n так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110209

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Доказательство от противного ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Даны  n > 1  приведённых квадратных трёхчленов  x² – a₁x + b₁,  ...,  x² – a_nx + b_n,  причём все 2n чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  является корнем одного из этих трёхчленов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110210

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0 , найдется такое натуральное n , что | sin nx| .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110211

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки подобия ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1318 1319 1320 1321 1322 1323 1324 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями