Страница:
<< 1338 1339 1340 1341
1342 1343 1344 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
На кольцевом треке 2n велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее n² встреч.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O, причём точка O не лежит ни на одной из диагоналей этого четырёхугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника AOC лежит на прямой BD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника BOD лежит на прямой AC.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Из вершины A параллелограмма ABCD опущены высоты AM на BC
и AN на CD. P – точка пересечения BN и DM. Докажите, что прямые AP и MN
перпендикулярны.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Bсе ребра правильной четырехугольной
пирамиды равны 1, а все вершины лежат на боковой поверхности
(бесконечного) прямого кругового цилиндра радиуса R.
Найдите все возможные значения R.
В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу
острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до
клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может
фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик
утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это
быть правдой?
Страница:
<< 1338 1339 1340 1341
1342 1343 1344 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
