Страница:
<< 1336 1337 1338 1339
1340 1341 1342 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в
точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри,
равны. Верно ли, что ABCD – квадрат?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке O. Вершина A правильного треугольника ABC лежит на большей окружности, а середина стороны BC – на меньшей. Чему может быть равен угол BOC?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 100×100, и в ней участвует 20 различных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, что любая фигура с любого места бьет не более 20 полей (но больше о правилах ничего не сказано, например, если фигуру А передвинуть, то о том, как изменится множество битых полей мы ничего не знаем). Докажите, что можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.
а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).
Страница:
<< 1336 1337 1338 1339
1340 1341 1342 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
