Страница: << 1334 1335 1336 1337 1338 1339 1340 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115781

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Найдите геометрическое место вершин треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115858

Темы:   [ Замечательное свойство трапеции ] [ Центр масс ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115859

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Формула Эйлера ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC равны R и r; O, I – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла C пересекает прямую AB в точке P. Точка Q – проекция точки P на прямую OI. Найдите расстояние OQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115862

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральное проектирование ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема Стюарта ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В треугольнике ABC  M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A₁ и B₁ – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда   GM || AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115863

Темы:   [ Теорема косинусов ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Векторы (прочее) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Разрезания на параллелограммы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дано множество точек O, A₁, A₂, ..., A_n на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки A_i выполняется равенство     где k и l – некоторые целые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1334 1335 1336 1337 1338 1339 1340 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями