Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1493 1494 1495 1496 1497 1498 1499 >> [Всего задач: 8157]

Задача 67343

Темы:	[	Преобразования плоскости (прочее)	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Терешин А.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Точка $T$ на прямой $BC$ выбрана так, что прямая $AT$ касается $\omega$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$, а окружность $\omega$ в точке $A_0$. Прямая $TA_0$ пересекает $\omega$ в точке $P$. Точка $K$ на отрезке $BC$ такова, что $BL=CK$. Докажите, что $\angle BAP=\angle CAK$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67354

Тема:

[

Проективная геометрия (прочее)

]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Хорда $PQ$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, пересекает стороны $BC$, $AC$ в точках $A'$, $B'$ соответственно. Касательные к окружности в точках $A$ и $B$ пересекаются в точке $X$, а касательные в точках $P$ и $Q$ – в точке $Y$. Прямая $XY$ пересекает $AB$ в точке $C'$. Докажите, что прямые $AA'$, $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67371

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Марданов А., Марданова К.

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.

Прислать комментарий Решение

Задача 67372

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
Темы:	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бродский Д.Ю.

Точки $P$ и $Q$ выбираются на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что $BP=CQ$. Отрезки $AP$ и $AQ$ в пересечении со вписанной в треугольник окружностью образуют четырехугольник $XYZT$. Найдите геометрическое место точек пересечения диагоналей таких четырехугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 67373

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Забазнов Г.

В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены. Прямая $PQ$ пересекает окружность $ABC$ в точке $X$. Прямая, симметричная $BC$ относительно $PQ$, пересекает прямую $AX$ в точке $E$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $E$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1493 1494 1495 1496 1497 1498 1499 >> [Всего задач: 8157]