Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1490 1491 1492 1493 1494 1495 1496 >> [Всего задач: 8157]

Задача 66158

Темы:	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Петров Ф.

На доске выписаны в ряд n положительных чисел a₁, a₂, ..., a_n. Вася хочет выписать под каждым числом a_i число b_i ≥ a_i так, чтобы для каждых двух из чисел b₁, b₂, ..., b_n отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство b₁b₂...b_n ≤ 2^(n–1)/2a₁a₂...a_n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66161

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром O и описан около окружности с центром I. Точка B', симметричная точке B относительно прямой OI, лежит внутри угла ABI. Докажите, что касательные к описанной окружности треугольника BB'I, проведённые в точках B' и I, пересекаются на прямой AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66215

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

AA₁, BB₁, CC₁ – высоты треугольника ABC, B₀ – точка пересечения BB₁ и описанной окружности Ω, Q – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника A₁C₁B₀. Докажите, что BQ – симедиана треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66218

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Алексиев К.

В остроугольный треугольник ABC вписана окружность с центром I, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно. В четырёхугольники ADIF и BDIE вписаны окружности с центрами J₁ и J₂ соответственно. Прямые J₁J₂ и AB пересекаются в точке M. Докажите. что CD ⊥ IM.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66219

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Рябов П.

Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и B пересекаются в точке D. Окружность, проходящая через проекции D на прямые BC, CA, AB, повторно пересекает AB в точке C'. Аналогично строятся точки A', B'. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1490 1491 1492 1493 1494 1495 1496 >> [Всего задач: 8157]