Страница:
<< 1487 1488 1489 1490
1491 1492 1493 >> [Всего задач: 8157]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC1 и BB1 пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A0 – середина стороны BC, а AA1 – высота. Прямые A0C1 и A0B1 пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA1, KLA0, A1B1C1 и окружность с диаметром AA1
пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На доске написаны N ≥ 9 различных неотрицательных чисел, меньших единицы. Оказалось, что для любых восьми различных чисел с доски на ней найдётся такое девятое, отличное от них, что сумма этих девяти чисел целая. При каких N это возможно?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых – разные, причём каждая
фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках AB и AC соответственно. Обозначим через Oa центр описанной окружности треугольника AABAC. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что описанная окружность треугольника OaObOc касается описанной окружности исходного треугольника.
Страница:
<< 1487 1488 1489 1490
1491 1492 1493 >> [Всего задач: 8157]
Фильтр
