Страница: << 1486 1487 1488 1489 1490 1491 1492 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64981

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Выпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник описанный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65021

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Проективная геометрия (прочее) ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Пусть A₂, B₂ – середины отрезков B₁C₁, A₁C₁ соответственно, O – центр описанной окружности треугольника ABC, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA₂ и PB₂ вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65024

Темы:   [ Шестиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Птолемея ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что  AB·CF = 2BC·FA,  CD·EB = 2DE·BC,  EF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65046

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Теорема о группировке масс ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда  IM : AC = IN : BD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65049

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A₁ на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
  б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1486 1487 1488 1489 1490 1491 1492 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями