Страница: << 1523 1524 1525 1526 1527 1528 1529 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116252

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
  а) по 5 шахматистов;
  б) произвольное равное число шахматистов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116284

Темы:   [ Трапеции (прочее) ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω₁ и ω₂, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω₃ и ω₄ также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω₃ и ω₄ тоже касаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116575

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Саша написал по кругу в произвольном порядке не более ста различных натуральных чисел, а Дима пытается угадать их количество. Для этого Дима сообщает Саше в некотором порядке несколько номеров, а затем Саша сообщает Диме в том же порядке, какие числа стоят под указанными Димой номерами, если считать числа по часовой стрелке, начиная с одного и того же числа. Сможет ли Дима заведомо угадать количество написанных Сашей чисел, сообщив
  а) 17 номеров;
  б) менее 16 номеров?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116640

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Назовём компанию k-неразбиваемой, если при любом разбиении её на k групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116688

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1523 1524 1525 1526 1527 1528 1529 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями