Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1584 1585 1586 1587 1588 1589 1590 >> [Всего задач: 8157]

Задача 111722

Темы:	[	Необычные построения (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные AC и BC . Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями ABC .

Прислать комментарий Решение

Задача 111725

Темы:	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Площади криволинейных фигур	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

а) Многоугольник обладает следующим свойством: если провести прямую через любые две точки, делящие его периметр пополам, то эта прямая разделит многоугольник на два равновеликих многоугольника. Верно ли, что многоугольник центрально симметричен?
б) Верно ли, что любая фигура, обладающая свойством, указанным в п.а), центрально симметрична?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111801

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Задачи с ограничениями	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Мурашкин М.В., Берлов С.Л., Богданов И.И.

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111833

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Степень вершины	]
	[	Перестройки	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

В стране есть N городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого k (2 ≤ k ≤ N) при любом выборе k городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить 2k – 2. Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111839

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Берлов С.Л.

Две окружности σ₁ и σ₂ пересекаются в точках A и B . Пусть PQ и RS – отрезки общих внешних касательных к этим окружностям (точки P и R лежат на σ₁ , точки Q и S – на σ₂ ). Оказалось, что RB|| PQ . Луч RB вторично пересекает σ₂ в точке W . Найдите отношение RB/BW .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1584 1585 1586 1587 1588 1589 1590 >> [Всего задач: 8157]