Страница: << 213 214 215 216 217 218 219 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109688

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109710

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Индукция в геометрии ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Дана последовательность неотрицательных чисел a₁ , a₂ , a_n . Для любого k от 1 до n обозначим через m_k величину

_l=1,2,..,k .
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых m_k>α , меньше, чем a₁+a₂+...+a_n α.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109722

Темы:   [ Индукция в геометрии ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Раскраски ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты n различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые n квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу 2n-2 гвоздями.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109776

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109798

Темы:   [ Необычные конструкции ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Пусть M={x₁, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; A_n ( 1 n 30 ) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M . Докажите, что если A15>A10 , то A₁>1 .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 213 214 215 216 217 218 219 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями