Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 215 216 217 218 219 220 221 >> [Всего задач: 1124]

Задача 108156

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Сонкин М.

Пусть окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники $BKL$, $CLM$ и $AKM$ проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника $ABC$. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 109568

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Мусин О.

На прямой отмечены n различных синих точек и n различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.

Прислать комментарий Решение

Задача 109778

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Обход графов	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Иванов И.

В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Для каждых четырёх городов существуют хотя бы две дороги между ними. Известно, что не существует маршрута, проходящего по каждому городу ровно один раз. Докажите, что можно выбрать два города таким образом, чтобы каждый из оставшихся городов был соединен дорогой хотя бы с одним из двух выбранных городов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110807

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Метод усреднения	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 115407

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

По кругу стоят 2009 целых неотрицательных чисел, не превышающих 100 . Разрешается прибавить по 1 к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более k раз. При каком наименьшем k все числа гарантированно можно сделать равными?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 215 216 217 218 219 220 221 >> [Всего задач: 1124]