Страница: << 212 213 214 215 216 217 218 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110030

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  N + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111765

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

На столе лежат купюры достоинством 1, 2, .. , 2n тугриков. Двое ходят по очереди. Каждым ходом игрок снимает со стола две купюры, большую отдает сопернику, а меньшую забирает себе. Каждый стремится получить как можно больше денег. Сколько тугриков получит начинающий при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111880

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Покрытия ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее x часов  (x > 4).  Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от x)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115398

Темы:   [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

В треугольной пирамиде  ABCD все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках  ABC , ABD , ACD лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер  AB , AC , AD .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109666

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Метод ГМТ в пространстве ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 212 213 214 215 216 217 218 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями