Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110178

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Полуинварианты ] [ Процессы и операции ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111876

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10

На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115399

Темы:   [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Метод координат на плоскости ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами  (x,y) такие, что x²+y² 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115410

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Метод ГМТ ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Окружность с центром  I касается сторон  AB , BC , AC неравнобедренного треугольника  ABC в точках C₁ , A₁ , B₁ соответственно. Окружности  ω_B и  ω_C вписаны в четырехугольники  BA₁IC₁ и  CA₁IB₁ соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к  ω_B и  ω_C , отличная от  IA₁ , проходит через точку  A .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109670

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через K_a . Аналогично построим точки K_b и K_c . Докажите, что три прямые, соединяющие точки K_a , K_b и K_c с серединами сторон BC , CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями