Страница: << 219 220 221 222 223 224 225 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109510

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Докажите, что существует такое натуральное число n , что если правильный треугольник со стороной n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n² правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109604

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательные проекции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109667

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Подсчет двумя способами ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Непрерывность и компактность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109674

Темы:   [ Эйлерова характеристика ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Дан выпуклый n -угольник ( n>3 ), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109694

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Процессы и операции ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n² фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 219 220 221 222 223 224 225 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями