Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 219 220 221 222 223 224 225 >> [Всего задач: 1124]

Задача 111867

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Окружность Ферма-Аполлония	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Композиции гомотетий	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Шмаров В.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.

Прислать комментарий Решение

Задача 109732

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости даны два таких конечных набора P₁ и P₂ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

Прислать комментарий Решение

Задача 110151

Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Сендеров В.А.

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

sin nα + sin nβ + sin nγ<0?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109652

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Инварианты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Фон-дер-Флаас Д.

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:

Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .

Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

Прислать комментарий

Решение

Задача 111832

Темы:	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Покрытия	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Шар и его части	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 219 220 221 222 223 224 225 >> [Всего задач: 1124]