Страница: << 219 220 221 222 223 224 225 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109783

Темы:   [ Системы точек ] [ Покрытия ] [ Свойства параллельного переноса ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109801

Темы:   [ Свойства сечений ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение, являющееся шестиугольником. Известно, что этот шестиугольник можно поместить в некоторый прямоугольник Π . Докажите, что в прямоугольник Π можно поместить одну из граней параллелепипеда.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110158

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10

Даны натуральные числа p<k<n . На бесконечной клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в любом прямоугольнике (k+1)×n ( n клеток по горизонтали, k+1 – по вертикали) отмечено ровно p клеток. Докажите, что существует прямоугольник k×(n+1) (где n+1 клетка по горизонтали, k – по вертикали), в котором отмечено не менее p+1 клетки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111866

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A₁A₂... A₂₀₀₈, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109822

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9,10,11

За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 219 220 221 222 223 224 225 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями