Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65706

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к описанной окружности Ω треугольника ABC пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к описанной окружности Γ треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65709

Темы:   [ Касающиеся сферы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65743

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Саша выбрал натуральное число  N > 1  и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители:  d₁ < ... < d_s  (так что  d₁ = 1  и
d_s = N).  Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных  s – 1  чисел оказалась равной
N – 2.  Какие значения могло принимать N?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65748

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство   ¹/_a² + ¹/_b² + ¹/_c² + ¹/_d² ≤ ¹/_a²b²c²d².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65751

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Дан кубический многочлен  f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел  (a, b, c),  что  f(a) = b,  f(b) = c  и  f(c) = a.  Известно, что нашлись восемь циклов  (a_i, b_i, c_i),  i = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  a_i + b_i + c_i  есть хотя бы три различных.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями