Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111872

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Последовательности (a_n) и (b_n) заданы условиями a₁=1 , b₁=2 , a_n+1= и b_n+1= . Докажите, что a2008<5 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115368

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол A равен 60^o . Пусть BB₁ и CC₁  — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B₁C₁ , лежит на стороне BC .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115402

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки A₁ и C₁ соответственно. Отрезки AC₁ и CA₁ пересекаются в точке P . Описанные окружности треугольников  AA₁P и CC₁P вторично пересекаются в точке Q , лежащей внутри треугольника  ACD . Докажите, что PDA= QBA .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64354

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что  ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64366

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями