Страница: << 174 175 176 177 178 179 180 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115360

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a⁵ делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108192

Темы:   [ Векторы помогают решить задачу ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дан четырёхугольник ABCD , в котором AB=AD и ABC= ADC=90^o . На сторонах BC и CD выбраны соответственно точки F и E так, что DF AE . Докажите, что AF BE .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108193

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2 в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1 в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1 и S2 в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108204

Темы:   [ Неравенства с медианами ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Пусть a , b и c – стороны треугольника, m_a , m_b и m_c – медианы, проведённые к этим сторонам, D – диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что

+ + 6D.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108221

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 174 175 176 177 178 179 180 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями