Страница: << 194 195 196 197 198 199 200 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116769

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

На координатной плоскости нарисовано n парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более  2(n – 1)  углов (то есть точек пересечения пары парабол).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116778

Темы:   [ Арифметические функции (прочее) ] [ Произведения и факториалы ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Для натурального n обозначим  S_n = 1! + 2! + ... + n!.  Докажите, что при некотором n у числа S_n есть простой делитель, больший 10²⁰¹².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111785

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64362

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Степень вершины ] [ Индукция (прочее) ] [ Кооперативные алгоритмы ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

На каждой из 2013 карточек написано по числу, все эти 2013 чисел различны. Карточки перевёрнуты числами вниз. За один ход разрешается указать на десять карточек, и в ответ сообщат одно из чисел, написанных на них (неизвестно, какое).
Для какого наибольшего t гарантированно удастся найти t карточек, про которые известно, какое число написано на каждой из них?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65245

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ] [ Подсчет двумя способами ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

  Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a₀, a₁, ..., a_n, что  a_n = a  и  a_i+1 = a_i – S(a_i)  при всех  i = 0, 1, ..., n – 1.  Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 194 195 196 197 198 199 200 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями