Страница: << 196 197 198 199 200 201 202 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108143

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1 , B1 , C1 , отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1 , BCA1 , CAB1 равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1 , проходит через точку H .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108196

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружность в точках C и D, а прямую AB – в точке M  (MB < MA,
MD < MC).  Пусть K – отличная от O точка пересечения описанных окружностей треугольников AOC и DOB. Докажите, что угол MKO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108205

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ Композиции гомотетий ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Каждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109508

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Два прямоугольных треугольника расположены на плоскости так, что их медианы, проведенные к гипотенузам, параллельны. Докажите, что угол между некоторым катетом одного треугольника и некоторым катетом другого треугольника вдвое меньше угла между их гипотенузами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109534

Темы:   [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 196 197 198 199 200 201 202 >> [Всего задач: 1124]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями