Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает сторону BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109711  (#00.5.11.5)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите неравенство   sinⁿ2x + (sinⁿx – cosⁿx)² ≤ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109712  (#00.5.11.6)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108149  (#00.5.11.7)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Описанные четырехугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω₁ касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω₂ касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109714  (#00.5.11.8)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Раскраски ] [ Правило произведения ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Сочетания и размещения ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.
Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями