Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 >> [Всего задач: 915]

Задача 66238

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Соколов А.

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A₀, C₀ соответственно. Докажите, что периметр треугольника A₀OC₀ (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66240

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Авторы: Руденко А., Хилько Д.

В треугольнике ABC проведены высоты AH₁, BH₂ и CH₃. Точка M – середина отрезка H₂H₃. Прямая AM пересекает отрезок H₂H₁ в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66243

Темы:	[	Четырехугольники (построения)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия: построения и геометрические места точек	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Френкин Б.Р.

Выпуклый четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Восстановите четырёхугольник по центрам описанных окружностей двух соседних треугольников и центрам вписанных окружностей двух противоположных друг другу треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66249

Темы:	[	Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи	]
	[	Раскраски	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Грани икосаэдра окрасили в пять цветов (среди которых есть красный и синий) так, что две грани, окрашенные в один цвет, не имеют общих точек, даже вершин. Докажите, что для любой точки внутри икосаэдра сумма расстояний от нее до красных граней равна сумме расстояний до синих граней.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66253

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

Описанная окружность треугольника ABC пересекает стороны AD и CD параллелограмма ABCD в точках K и L. Пусть M – середина дуги KL, не содержащей точку B. Докажите, что DM ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 >> [Всего задач: 915]