Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 915]

Задача 66318

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Гаркавый А.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB', CC'. Через A и C' проведены две окружности, касающиеся BC в точках P и Q.
Докажите, что точки A, B', P, Q лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66669

Тема:

[

Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Saghafian M.

Найдите все такие конфигурации из шести точек общего положения на плоскости, что треугольник, образованный любыми тремя из них, равен треугольнику, образованному тремя остальными.

Прислать комментарий Решение

Задача 66799

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Рябов П., Рябова Т.

Дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $MN\parallel AC$. Точки $M'$ и $N'$ симметричны соответственно точкам $M$ и $N$ относительно сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Пусть $M'A$ пересекает $BC$ в точке $X$, а $N'C$ пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что точки $A$, $C$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 66920

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Рябов П.

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $R$. Через точку $P$ проведены прямые $l_1$, $l_2$. Прямая $l_1$ вторично пересекает окружности в точках $A_1$ и $B_1$. Касательные в этих точках к описанной окружности треугольника $A_1RB_1$ пересекаются в точке $C_1$. Прямая $C_1R$ пересекает $A_1B_1$ в точке $D_1$. Аналогично определены точки $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$. Докажите, что окружности $D_1D_2P$ и $C_1C_2R$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 66943

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $I$, касающаяся сторон $CA$, $AB$ в точках $E$, $F$ соответственно. Точки $M$, $N$ на прямой $EF$ таковы, что $CM=CE$ и $BN=BF$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ делит пополам отрезок $MN$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 915]