Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 915]

Задача 66302

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66304

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника A₁A₂...A₁₃ и B₁B₂...B₁₃, причём точки B₁ и A₁₃ совпадают и лежат на отрезке A₁B₁₃, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые A₁A₉, B₁₃B₈ и A₈B₉ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66310

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Кожевников П.А.

Пусть BH_b, CH_c – высоты треугольника ABC. Прямая H_bH_c пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что PQ || BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66315

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Пешнин А.

Докажите, что в остроугольном треугольнике расстояние от любой вершины до соответствующего центра вневписанной окружности меньше чем сумма двух наибольших сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66316

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Соколов А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть ω_A, ω_B, ω_C, ω_D – описанные окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Обозначим через X_A произведение степени точки A относительно ωA на площадь треугольника BCD. Аналогично определим X_B, X_C, X_D. Докажите, что X_A + X_B + X_C + X_D = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 915]