Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 66972 (#9.4)

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
Темы:	[	Планарные графы. Формула Эйлера	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Saghafian M.

Назовем расстоянием между треугольниками $A_1A_2A_3$ и $B_1B_2B_3$ наименьшее из расстояний $A_iB_j$ . Можно ли так расположить на плоскости пять треугольников, чтобы расстояние между любыми двумя из них равнялось сумме радиусов их описанных окружностей?

Прислать комментарий Решение

Задача 66973 (#9.5)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$ . На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$ . Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$ , проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 66974 (#9.6)

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Рябов П.

Диагонали трапеции $ABCD$ ( $BC\parallel AD$ ) пересекаются в точке $O$ . На отрезках $BC$ и $AD$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ . К окружности $AMC$ проведена касательная из $C$ до пересечения с лучом $NB$ в точке $P$ ; к окружности $BND$ из $D$ проведена касательная до пересечения с лучом $MA$ в точке $R$ . Докажите, что $\angle BOP=\angle AOR$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 66975 (#9.7)

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Построения (прочее)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Дидин М., Ивлев Ф., Фролов И.И.

На плоскости проведены три прямые, образующие остроугольный неравнобедренный треугольник. Федя, у которого есть циркуль и линейка, хочет провести все высоты этого треугольника. Ваня с ластиком пытается ему помешать. За ход Федя проводит либо прямую через две отмеченные точки, либо окружность с центром в отмеченной точке, проходящую через другую отмеченную точку. После этого Федя отмечает любое количество точек (точки пересечения проведенных линий, случайные точки на проведенных линиях и случайные точки плоскости). Ваня за ход стирает не более трех отмеченных точек. (Федя не может использовать стертые точки в своих построениях, пока не отметит их снова). Ходят по очереди, начинает Федя. Изначально никакие точки плоскости не отмечены. Может ли Федя провести высоты?

Прислать комментарий Решение

Задача 66976 (#9.8)

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Прямая Гаусса	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Dadgarnia A.

Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$ с центром $I$ . Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$ , $AB$ и $CD$ – в точке $E$ , $AD$ и $BC$ – в точке $F$ . Точка $K$ на описанной окружности треугольника $EIF$ такова, что $\angle IKP=90^{\circ}$ . Луч $PK$ пересекает $\omega$ в точке $Q$ . Докажите, что описанная окружность треугольника $EQF$ касается $\omega$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]