Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67047

Тема:   [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дан отрезок [0; 1]. За ход разрешается разбить любой из имеющихся отрезков точкой на два новых отрезка и записать на доску произведение длин этих двух новых отрезков. Докажите, что ни в какой момент сумма чисел на доске не превысит 1/2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67048

Тема:   [ Дроби (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

В ряд записаны $n>2$ различных ненулевых чисел, причём каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину. Обратные к этим $n$ числам тоже удалось записать в ряд (возможно, в другом порядке) так, что каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину (возможно, иную, чем в первом случае). Чему могло равняться $n$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67049

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

На столе лежат 8 всевозможных горизонтальных полосок $1\times3$ из трёх квадратиков $1\times1$, каждый из которых либо белый, либо серый (см. рисунок). Разрешается переносить полоски в любых направлениях на любые (не обязательно целые) расстояния, не поворачивая и не переворачивая. Можно ли расположить полоски на столе так, чтобы все белые точки образовали многоугольник, ограниченный замкнутой несамопересекающейся ломаной, и все серые — тоже? (Полоски не должны перекрываться.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67050

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую. Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67051

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

На доске написано число 7. Петя и Вася по очереди приписывают к текущему числу по одной цифре, начинает Петя. Цифру можно приписать в начало числа (кроме нуля), в его конец или между любыми двумя цифрами. Побеждает тот, после чьего хода число на доске станет точным квадратом. Может ли кто-нибудь гарантированно победить, как бы ни играл соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями