ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



Задача 67047

Тема:   [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Лукин М.

Дан отрезок [0; 1]. За ход разрешается разбить любой из имеющихся отрезков точкой на два новых отрезка и записать на доску произведение длин этих двух новых отрезков. Докажите, что ни в какой момент сумма чисел на доске не превысит 1/2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67048

Тема:   [ Дроби (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

В ряд записаны $n>2$ различных ненулевых чисел, причём каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину. Обратные к этим $n$ числам тоже удалось записать в ряд (возможно, в другом порядке) так, что каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину (возможно, иную, чем в первом случае). Чему могло равняться $n$?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67049

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

На столе лежат 8 всевозможных горизонтальных полосок $1\times3$ из трёх квадратиков $1\times1$, каждый из которых либо белый, либо серый (см. рисунок). Разрешается переносить полоски в любых направлениях на любые (не обязательно целые) расстояния, не поворачивая и не переворачивая. Можно ли расположить полоски на столе так, чтобы все белые точки образовали многоугольник, ограниченный замкнутой несамопересекающейся ломаной, и все серые — тоже? (Полоски не должны перекрываться.)

Прислать комментарий     Решение


Задача 67050

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую. Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67051

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

На доске написано число 7. Петя и Вася по очереди приписывают к текущему числу по одной цифре, начинает Петя. Цифру можно приписать в начало числа (кроме нуля), в его конец или между любыми двумя цифрами. Побеждает тот, после чьего хода число на доске станет точным квадратом. Может ли кто-нибудь гарантированно победить, как бы ни играл соперник?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .