ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      



Задача 67080

Темы:   [ Построения (прочее) ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В прямоугольной системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график функции $y = f(x)$. Затем ось ординат и все отметки на оси абсцисс стёрли. Предложите способ, как с помощью карандаша, циркуля и линейки восстановить ось ординат, если

а) $f(x) = 3^x$;

б) $f(x) = \operatorname{log}_{a} x$, где $a > 1$ – неизвестное число.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67069

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Глебов А.

Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1$, $a_2, \ldots, a_n$ интересной, если для каждого $i = 1$, $2, \ldots, n$ верно одно из равенств $a_i = i$ или $a_i = i + 1$. Назовём интересную последовательность чётной, если сумма её членов чётна, и нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 67071

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$ с центром в точке $O$. Описанная окружность треугольника $AOC$ пересекает вторично прямые $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $M$, $N$, $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и касательные, проведённые к $\omega$ в точках $A$ и $C$, касаются одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67022

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67026

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале $(0,1)$?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .