Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]

Задача 67080

Темы:	[	Построения (прочее)	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

В прямоугольной системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график функции $y = f(x)$. Затем ось ординат и все отметки на оси абсцисс стёрли. Предложите способ, как с помощью карандаша, циркуля и линейки восстановить ось ординат, если

а) $f(x) = 3^x$;

б) $f(x) = \operatorname{log}_{a} x$, где $a > 1$ – неизвестное число.

Прислать комментарий Решение

Задача 67069

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Глебов А.

Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1$, $a_2, \ldots, a_n$ интересной, если для каждого $i = 1$, $2, \ldots, n$ верно одно из равенств $a_i = i$ или $a_i = i + 1$. Назовём интересную последовательность чётной, если сумма её членов чётна, и нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$.)

Прислать комментарий Решение

Задача 67071

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$ с центром в точке $O$. Описанная окружность треугольника $AOC$ пересекает вторично прямые $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $M$, $N$, $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и касательные, проведённые к $\omega$ в точках $A$ и $C$, касаются одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67022

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кушнир А.Ю.

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67026

Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале $(0,1)$?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]