Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 67183

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Авторы: Голованов А.С., Соколов А.

Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций « $+$ », « $-$ », « $\times$ » и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4 - 3) \times (2 + 5) + 1$ . Может ли он получить число 123?

Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).

Прислать комментарий Решение

Задача 67184

Тема:

[

Теория алгоритмов (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Новиков В. В.

Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается вставить в какое-то место последовательности (возможно, в начало или в конец) одну или несколько одинаковых букв или убрать из последовательности одну или несколько подряд идущих одинаковых букв. Докажите, что из первой последовательности можно получить вторую не более чем за 100 операций.

Прислать комментарий Решение

Задача 67186

Темы:	[	Дроби (прочее)	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Казицына Т.В.

Дано натуральное число $n > 1$ . Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$ . Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$ , можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.

Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.

Прислать комментарий Решение

Задача 67185

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Бродский Д.Ю.

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$ , продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$ . Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$ , пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$ . Найдите длину отрезка $XY$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 67187

Темы:	[	Разрезания (прочее)	]
	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Юран А.Ю.

Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]