Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Петя покрасил 100 натуральных чисел в красный цвет и 100 других натуральных чисел — в синий. Вася выписал на доску 200 выражений: для каждого красного числа $n$ записал $\frac{x^n}{1-x}$, а для каждого синего числа $m$ записал $\frac{x^m}{1-x^{-1}}.$ После этого мальчики сложили все записанные выражения, привели подобные и упростили выражение. Докажите, что у них получился многочлен от $x$.

Вниз   Решение


Докажите, что уравнение  Azz + Bz – B z + C = 0  при отображениях  w = z + u  и  w = R/z  переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений (см. задачу 61183).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 517]      



Задача 111401

Темы:   [ Правильный тетраэдр ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Два правильных тетраэдра ABCD и MNPQ расположены так, что плоскости BCD и NPQ совпадают, вершина M лежит на высоте AO первого тетраэдра, а плоскость MNP проходит через центр грани ABC и середину ребра BD. Найдите отношение длин рёбер тетраэдров.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115313

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC на стороне AB взята такая точка E, что  AE : BE = AD : BC.  Точка H – проекция точки D на прямую CE.
Докажите, что  AH = AD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115693

Темы:   [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки X и Y так, что  ∠AXY = 2∠C,  ∠CYX = 2∠A.
Докажите неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 66786

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 55240

Темы:   [ Неравенства с углами ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

На плоскости даны прямая l и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l такую точку M, для которой расстояние между основаниями высот треугольника PQM, опущенных на стороны PM и QM, наименьшее.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 517]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .