Страница:
<< 1 2 3
4 5 >> [Всего задач: 23]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В трапецию $ABCD$ ($AD\parallel BC$) вписана окружность $\omega$, которая касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $P$ параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую $QR$ в точке $X$. Докажите, что прямые $AB$, $QS$ и $DX$ пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что многоугольник нельзя покрыть двумя
многоугольниками, гомотетичными ему с коэффициентом
k,
где 0 <
k < 1.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
|
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на
которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю
сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному,
причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный
многоугольник можно вписать окружность.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11
|
Дан выпуклый четырехугольник
ABCD .
A' ,
B' ,
C' ,
D' –
ортоцентры треугольников
BCD ,
CDA ,
DAB ,
ABC . Докажите, что в
четырехугольниках
ABCD и
A'B'C'D' соответствующие диагонали делятся
точками пересечения в одном и том же отношении.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 >> [Всего задач: 23]
Фильтр
Решение 
