Найти геометрическое место центров прямоугольников, описанных около данного остроугольного треугольника.

   Решение

M и N — точки пересечения двух окружностей с центрами O₁ и O₂. Прямая O₁M пересекает 1-ю окружность в точке A₁, а 2-ю в точке A₂. Прямая O₂M пересекает 1-ю окружность в точке B₁, а 2-ю в точке B₂. Доказать, что прямые A₁B₁, A₂B₂ и MN пересекаются в одной точке.

   Решение

В десятичной записи целого числа A все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше трёх.
Доказать, что A не является точным квадратом.

   Решение

Имеется m точек, некоторые из которых соединены отрезками так, что каждая соединена с l точками. Какие значения может принимать l?

   Решение

Даны отрезки AB, CD и точка O. Конец отрезка называется "отмеченным", если прямая, проходящая через него и точку O, не пересекает другой отрезок. Сколько может быть отмеченных концов?

   Решение

Сторона треугольника равна   ,   углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°.
Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.

   Решение

Пусть c – длина гипотенузы, – длина биссектрисы одного из острых углов прямоугольного треугольника. Найдите катеты.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 531]      

В прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе AB, а две другие — на катетах. Радиус круга, описанного около треугольника ABC, относится к стороне квадрата как 13:6. Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Точка D – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки A, B и D, пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABD и MNC равны.

Прислать комментарий

Решение

Диаметр AB окружности продолжили за точку B и на продолжении отметили точку C. Из точки C провели секущую под углом к AC в 7^o, пересекающую окружность в точках D и E, считая от точки C. Известно, что DC = 3, а угол DAC равен 30^o. Найдите диаметр окружности.

Прислать комментарий

Решение

В окружности диаметра 4 проведены диаметр AB и хорда CD, пересекающиеся в точке E. Известно, что углы ABC и BCE равны соответственно 60^o и 8^o. Найдите CE.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC  ∠CAB = 75°,  ∠ABC = 45°.  На стороне CA берётся точка K, а на стороне CB – точка M,  CK : AK = 3 : 1.
Найдите   KM : AB,  если это отношение меньше ¾, а прямая MK отсекает от треугольника ABC треугольник, ему подобный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 531]