ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Выпуклые и невыпуклые фигуры
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Дидин М.

Докажите для любых натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ неравенство  $\bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor + \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor + ... + \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor \geqslant a_1 + a_2 + ... +a_n$.  ([$x$] – целая часть числа $x$.)

Вниз   Решение

В круге с центром O хорда AB пересекает радиус OC в точке D , причём CDA = 120o . Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AD , DC и дуги AC , если OC = 2 , OD = .

ВверхВниз   Решение

AB — диаметр окружности; BC — касательная; D — точка пересечения прямой AC с окружностью. Известно, что AD = 32 и DC = 18. Найдите радиус окружности.

ВверхВниз   Решение

Дана квадратная таблица 4×4, в каждой клетке которой стоит знак "+" или "–" :

За один ход можно поменять знаки на противоположные в любой строке или любом столбце.
Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов?

ВверхВниз   Решение

На рёбрах DA , DB и DC пирамиды ABCD взяты соответственно точки K , L и M , причём DK=DA , DL=DB и DM = DC , G – точка пересечения медиан треугольника ABC . В каком отношении плоскость KLM делит отрезок DG ?

ВверхВниз   Решение

Относительно треугольника ABC точка X имеет абсолютные барицентрические координаты ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$). Докажите, что $ \overrightarrow{XA}$ = $ \beta$$ \overrightarrow{BA}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CA}$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 207]      

  с решениями  

Задача 58110

Тема:   [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На плоскости дано n точек, причем любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что эти точки являются вершинами выпуклого n-угольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58111

Тема:   [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На плоскости дано пять точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек расположены в вершинах выпуклого четырехугольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58124

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что для любой невыпуклой фигуры $ \Psi$ существует выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58125

Тема:   [ Теорема Хелли ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что если существует фигура $ \Phi{^\prime}$, площадь которой не меньше площади фигуры $ \Phi$, а периметр — меньше, то существует фигура того же периметра, что и $ \Phi$, но большей площади.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58146

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону от не менее чем двух своих сторон?
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 207]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .