Каталог по темам

Выбрано 4 задачи

На отрезке длины 1 отмечено несколько интервалов. Известно, что расстояние между любыми двумя точками, принадлежащими одному или разным интервалам, отлично от 0,1. Докажите, что сумма длин отмеченных интервалов не превосходит 0,5.

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

а) На столе лежат 5 одинаковых бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, не поворачивая. Верно ли, что всегда каждый из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими?
б) На столе лежат 5 одинаковых равносторонних бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении, не поворачивая. Докажите, что каждый из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими.

Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяты точки K и L соответственно, так что AK + LC = KL. Из середины M отрезка KL провели прямую, параллельную BC, и эта прямая пересекла сторону AC в точке N. Найдите величину угла KNL.

Решение

Пусть имеется n подмножеств A₁, ..., A_n конечного множества E и $\chi_{j}^{}$ (x) — характеристические функции этих множеств, то есть

$\displaystyle \chi_{j}^{}$ (x) = $\begin{displaymath}\begin{cases} 1,& x\in A_j,\\ 0,& x\in E\setminus A_j \end{cases}\end{displaymath}$ (j = 1,..., n).

Докажите, что при этом $\chi$ (x) — характеристическая функция множества A = A₁ $\cup$ ... $\cup$ A_n, связана с функциями $\chi_{1}^{}$ (x), ..., $\chi_{n}^{}$ (x) формулой

1 - $\displaystyle \chi$ (x) = (1 - $\displaystyle \chi_{1}^{}$ (x))...(1 - $\displaystyle \chi_{n}^{}$ (x)).

Решение

Задача 55216

Задача 102206

Задача 102208

Задача 35527

Задача 53294