- Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. (70 задач)
- Биссектриса угла (91 задача)
- Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие (207 задач)
- Три точки, лежащие на одной прямой (158 задач)
- Три прямые, пересекающиеся в одной точке (136 задач)
- Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках (200 задач)
- Перпендикулярные прямые (13 задач)
- Ломаные (30 задач)
- Прямые, лучи, отрезки и углы (прочее) (9 задач)
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
На клетчатой бумаге написана таблица, причём в каждой клетке стоит число, равное среднему арифметическому четырёх чисел, стоящих в соседних клетках. Все числа в таблице различны. Докажите, что наибольшее число стоит с края (то есть по крайней мере одна из соседних клеток отсутствует).
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка L является серединой стороны BC, точка M является серединой AD, точка N является серединой стороны AB. Найдите отношение площади треугольника LMN к площади четырёхугольника ABCD.
На плоскости дано n > 4 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что существует не менее различных выпуклых четырёхугольников с вершинами в этих точках.
Решить в целых числах уравнение x² + y² + z² = 4(xy + yz + zx).
На стороне острого угла KOM взята точка L между O и K. Окружность проходит через точки K и L и касается луча OM в точке M. На дуге LM, не содержащей точки K, взята точка N. Расстояния от точки N до прямых OM, OK и KM равны m, k и l соответственно. Найдите расстояние от точки N до прямой LM.
Из точки A, расположенной вне окружности, проведены две
касательные AM и AN (M и N — точки касания) и секущая,
пересекающая окружность в точках P и Q. Пусть L — середина PQ.
Докажите, что
MLA =
NLA.
Угол между радиусами OA и OB окружности равен 60°. Найдите хорду AB, если радиус окружности равен R.
Задачи Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 831]
Задача 67097 |
|
|
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?
|
|
Решение |
Задача 53548 |
|
|
Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A1, B1 и C1, симметричные точке O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны, а прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Задача 53577 |
|
|
На сторонах AD и DC ромба ABCD построены правильные треугольники AKD и DMC, причём точка K лежит по ту же сторону от AD, что и прямая BC, а точка M – по другую сторону от DC, чем AB. Докажите, что точки B, K и M лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Задача 53643 |
|
|
Пусть AE и CD – биссектрисы треугольника ABC. Докажите, что если ∠BDE : ∠EDC = ∠BED : ∠DEA, то треугольник ABC — равнобедренный.
|
|
|
Решение |
Задача 53838 |
|
|
Площадь треугольника ABC равна 2, сторона BC равна 1, ∠BCA = 60°. Точка D стороны AB удалена от точки B на 3, M – точка пересечения CD с медианой BE. Найдите отношение BM : ME.
|
|
|
Решение |
Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 831]
