Страница:
<< 85 86 87 88
89 90 91 >> [Всего задач: 512]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причём B лежит на отрезке O и A на отрезке OD. I – центр вписанной окружности треугольника
OAB, J – центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырёхугольника ABCD пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD XY имеет наименьшую длину.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC
пересекает сторону BC в точке M. Биссектриса угла AMB пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников AKM и BKM, перпендикулярна биссектрисе угла AKB.
Дан треугольник ABC. Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABH, где H – ортоцентр треугольника ABC. Прямые AP, BP пересекают противоположные стороны треугольника в точках A', B'. Найдите геометрическое место середин отрезков A'B'.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
|
Высоты $BE$ и $CF$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Перпендикуляр из $H$ к прямой $EF$ пересекает прямую $\ell$, проходящую через точку $A$ и параллельную $BC$, в точке $P$. Биссектрисы углов, образованных прямыми $\ell$ и $HP$, пересекают прямую $BC$ в точках $S$ и $T$. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $PST$ касаются.
Страница:
<< 85 86 87 88
89 90 91 >> [Всего задач: 512]