На бумажке записаны три положительных числа x, y и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке
 a) число x²?   б) число xy?

   Решение

а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше  120^o, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше  120^o, взята точка O, из которой его стороны видны под углом  120^o. Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a² + b² + c²)/2 + 2S.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 54]      

Сферы с центрами в точках O1 и O2 радиусов 3 и 2 соответственно касаются друг друга. Через точку M , удалённую от O2 на расстояние 2 , проведены две прямые, каждая из которых касается обеих сфер, причём точки касания лежат на прямых по одну сторону от точки M . Найдите угол между касательными, если известно, что одна из них образует с прямой O1O2 угол arccos .

Прислать комментарий

Решение

Суммы плоских углов при каждой из вершин A , B и C тетраэдра DABC равны 180^o . Найдите расстояние между прямыми DA и BC , если BC = 4 , AC = 5 , AB = 6 .

Прислать комментарий

Решение

Все ребра треугольной пирамиды ABCD касаются некоторого шара. Три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся рёбер AB и CD , AC и BD , AD и BC , равны между собой, ABC = 100^o . Найдите отношение высот, опущенных из вершин A и B .

Прислать комментарий

Решение

В треугольной пирамиде ABCD известно, что AB CD , AC BD , AC = BD , BC = a . Кроме того, известно, что некоторый шар касается всех рёбер этой пирамиды. Найдите радиус шара.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 54]