Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением d² = r₁² + r₂²±6r₁r₂ (к плюск — если окружности не лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).

   Решение

---

На высотах $AA_0$, $BB_0$, $CC_0$ остроугольного неравностороннего треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $A_1, B_1, C_1$ так, что  $AA_1 = BB_1 = CC_1 = R$,  где $R$ – радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$.

   Решение

---

Один фермер сварил сыр в виде неправильной пятиугольной призмы, а другой — в виде правильной четырёхугольной пирамиды, высота которой в два раза меньше стороны основания. Ночью мыши отъели от всех вершин этих многогранников все частицы сыра, которые находились на расстоянии не больше 1 см от соответствующей вершины. У съеденных кусков сыра не было общих частиц. Какой из фермеров понёс больший ущерб и во сколько раз его ущерб больше?

   Решение

---

Сколько плоскостей симметрии может иметь треугольная пирамида?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 289]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 52492

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведёнными из вершин B и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53262

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена высота CD . Угол BAC равен α . Радиус окружности, проходящей через точки A , C и D , равен R . Найдите площадь треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53627

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Две прямые пересекаются в точке A под углом, не равным 90^o ; B и C — проекции точки M на эти прямые. Найдите угол между прямой BC и прямой, проходящей через середины отрезков AM и BC .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108022

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108037

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В окружности проведены две пересекающиеся хорды AB и CD . На отрезке AB взяли точку M так, что AM=AC , а на отрезке CD – точку N так, что DN=DB . Докажите, что если точки M и N не совпадают, то прямая MN параллельна прямой AD .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 289]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями