Версия для печати
Убрать все задачи

---

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC и DOA. Докажите, что
  а) четырёхугольник ABCD – описанный;
  б) четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей.

   Решение

---

Дана трапеция ABCD, M – точка пересечения её диагоналей. Известно, что боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC и что в трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь треугольника DCM, если радиус этой окружности равен r.

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины сторон AB и CD. Известно, что  IM : AB = IN : CD.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

   Решение

---

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S₁ касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S₂ касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I₁, I₂ и r, r₁, r₂ -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S₁, S₂; = ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I₁I₂, причём I₁I : II₂ = tg². Докажите также, что r = r₁cos² + r₂sin² (Тебо).

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55362

Темы:   [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Докажите, что при произвольном выборе точки O равенство   = k + (1 – k)  является необходимым и достаточным условием принадлежности различных точек A, B, C одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55373

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Правильные многоугольники ] [ Векторы сторон многоугольников ] [ Центр масс ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Пусть О – центр правильного многоугольника A₁A₂A₃...A_n,  X – произвольная точка плоскости. Докажите, что:
   a)  

   б)   

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58310

Темы:   [ Индукция в геометрии ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На прямой даны точки A₁, ..., A_n и B₁, ..., B_n–1. Докажите, что     = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55363

Темы:   [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55364

Темы:   [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Стороны параллелограмма разделены по обходу в равных отношениях. Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры симметрии этих параллелограммов совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями