ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 211]      



Задача 57525

Темы:   [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.
Прислать комментарий     Решение


Задача 65941

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Теорема косинусов ]
[ Формула Эйлера ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, A', B', C', D' – центры описанных сфер тетраэдров IBCD, ICDA, IDBA, IABC соответственно.
Докажите, что описанная сфера тетраэдра ABCD целиком лежит внутри описанной сферы тетраэдра A'B'C'D'.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108170

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Формулы для площади треугольника ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты точки C' , A' и B' соответственно. Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна

,

где R – радиус описанной окружности треугольника ABC .
Прислать комментарий     Решение

Задача 109841

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Биссектрисы BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B1C1 пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116945

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

К двум непересекающимся окружностям ω1 и ω2 проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω1 в точках A1, B1 и C1 соответственно, а окружности ω2 – в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A1B1C1 и A2B2C2 равно отношению радиусов окружностей ω1 и ω2.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 211]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .