Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит n²R².

   Решение

На прямой AB взяты точки P и P₁, а на прямой AC взяты точки Q и Q₁. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения прямых PQ и P₁Q₁, пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что

= .

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 79]      

Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что прямые CC₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в некоторой точке O. Докажите, что:
а) = + ;
б) ^{. .} = + + + 28.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что BA₁/A₁C = CB₁/B₁A = AC₁/C₁B. Докажите, что центры масс треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают.

Прислать комментарий

Решение

В середины сторон треугольника ABC помещены точки, массы которых равны длинам сторон. Докажите, что центр масс этой системы точек расположен в центре вписанной окружности треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC.
Замечание. Центр масс системы точек, рассматриваемой в задаче 14.12.1 совпадает с центром масс фигуры, изготовленной из трех тонких стержней одинаковой толщины. Действительно, при нахождении центра масс стержень можно заменить на точку, расположенную в середине стержня и имеющую массу, равную массе стержня. Ясно также, что масса стержня пропорциональна его длине.

Прислать комментарий

Решение

На окружности дано n точек. Через центр масс n - 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 79]