Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите неравенства:
  а)  

  б)     при  n > 1;

  в)     при n > 6.

   Решение

---

На окружности расставлено несколько положительных чисел, каждое из которых не больше 1. Докажите, что можно разделить окружность на три дуги так, что суммы чисел на соседних дугах будут отличаться не больше чем на 1. (Если на дуге нет чисел, то сумма на ней считается равной нулю.)

   Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116758

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Положительные действительные числа    a₁, ..., a_n  и k таковы, что  a₁ + ... + a_n = 3k,     и    .
Докажите, что какие-то два из чисел  a₁, ..., a_n  отличаются больше чем на 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116765

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Каждые два из действительных чисел a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства     Докажите, что  k² ≥ ²⁵/₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61412

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Классические неравенства ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Докажите, что выполняются классические неравенства между средними степенными:  S_–1(x) ≤ S₀(x) ≤ S₁(x) ≤ S₂(x).
Определение средних степенных можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107843

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Замена переменных ] [ Тождественные преобразования ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Положительные числа a, b и c таковы, что  abc = 1.  Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109716

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Пусть  –1 < x₁ < x₂ < ... < x_n < 1  и  
Докажите, что если  y₁ < y₂ < ... < y_n,  то  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями