ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 1221]      



Задача 64352

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Доказательство от противного ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол k/n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 64538

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Саша начертил квадрат размером 6×6 клеток и поочередно закрашивает в нём по одной клетке. Закрасив очередную клетку, он записывает в ней число – количество закрашенных клеток, соседних с ней. Закрасив весь квадрат, Саша складывает числа, записанные во всех клетках. Докажите, что в каком бы порядке Саша ни красил клетки, у него в итоге получится одна и та же сумма. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 64697

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7

На окружности отмечены 2014 точек. В одной из них сидит кузнечик, который делает прыжки по часовой стрелке либо на 57 делений, либо на 10. Известно, что он посетил все отмеченные точки, сделав наименьшее количество прыжков длины 10. Какое?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64947

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Гномы сели за круглый стол и голосованием решили много вопросов. По каждому вопросу можно было голосовать "за", "против" или воздержаться. Если оба соседа какого-либо гнома по какому-нибудь вопросу выбрали один и тот же вариант ответа, то при голосовании по следующему вопросу он выберет этот же вариант. А если они выбрали два разных варианта, то при голосовании по следующему вопросу гном выберет третий вариант. Известно, что по вопросу "Блестит ли золото?" все гномы проголосовали "за", а по вопросу "Страшен ли Дракон?" Торин воздержался. Сколько могло быть гномов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64965

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 1221]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .