На доске написаны  N ≥ 9  различных неотрицательных чисел, меньших единицы. Оказалось, что для любых восьми различных чисел с доски на ней найдётся такое девятое, отличное от них, что сумма этих девяти чисел целая. При каких N это возможно?

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 402]      

Стороны параллелограмма равны a и b, а угол между ними равен . Найдите стороны и диагонали четырёхугольника, образованного пересечением биссектрис внутренних углов параллеллограмма.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна сумме двух соседних сторон параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что при пересечении прямых AN, BK, CL и DM получится параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD с центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что  ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
  а) Докажите, что  ∠ABP = ∠CBQ.
  б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN.  Докажите, что  АР = ВС.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 402]